Usamos a diario los números para muchos fines. Desde pequeños nos han enseñado los 10 símbolos básicos que utilizamos para contar. Empezamos con el 0 en las unidades, y una vez llegamos al 9, volvemos a empezar con el 0 escribiendo un 1 en las decenas. Cuando las unidades se vuelven a llenar, las decenas pasan al símbolo siguiente, y vuelta a empezar. Cuando las decenas llegan a 9 y las unidades también (99), estrenamos las centenas y escribiremos un 1 (100). Y vuelta a empezar. A esta manera de contar la llamamos base 10.
Básicamente, en el sistema de base 10 el valor de la izquierda vale 10 veces más que el que tiene a la derecha. Así, las decenas valen 10 veces más que las unidades, por ejemplo. Para comprender este concepto puede practicar ejercicios de descomposición. Por ejemplo, 6.174 es igual a:
6 * 1.000 (valor unidades de millar) + 1 * 100 (valor de las centenas) + 7 * 10 (valor de las decenas) + 4 * 1 (valor de las unidades). (* expresa una multiplicación).
Sin embargo, ¿alguna vez se ha parado a pensar qué es exactamente un número? ¿Por qué se inventaron los números? ¿Qué maneras de contar ha habido a lo largo de la historia?
A mí me gusta decir que los números son símbolos que se ordenan para expresar cantidades. La RAE [1] ofrece una definición similar, indicando además la importancia de las unidades. Muchos profesores, especialmente los de Física y Química, hacen mucho incapié en dejar clara la unidad en los resultados de los problemas. Esto puede parecer una tontería, pero es de vital importancia:
Para empezar, porque no todos los seres humanos utilizamos las mismas unidades. En buena parte del globo se ha establecido el SI (Sistema Internacional), que define 7 unidades principales para cuantificar masa (kilogramo), tiempo (segundo), longitud (metro), corriente eléctrica (amperio), temperatura (kelvin), cantidad de sustancia (mol) e intensidad luminosa (candela). Además, estas unidades pueden tener múltiplos y submúltiplos, como por ejemplo el metro (kilómetro, milímetro...). Y también hay otras muchas unidades secundarias en el SI. El SI, para optimizar la comunicación entre científicos, ha establecido unas abreviaturas para estas unidades [2].
No obstante, hay otras muchas unidades y sistemas de unidades diferentes que son utilizados en otros países como en Estados Unidos.
En el marco práctico, es vital entender que los números expresan cantidades, pero no de cualquier cosa si no en una unidad concreta. Un científico, tras concluir su investigación no dice: "mi resultado es 32". No. Aunque esté investigando una cosa muy concreta y la unidad sea bastante obvia, pueden seguir habiendo confusiones y es muy importante dejarlo claro. "Mi resultado es 32 segundos, 32 segundos tarda en suceder x".
El tema de las unidades es bastante extenso; lo suficiento como para que exista una ciencia que las estudia: la metrología (no sea confundida con meteorología), y es un tema que será desarrollado en futuras entradas.
Volvamos a los números. Para ver la historia de estos es muy relevante dar la clasificación de ellos al mismo tiempo, pues no surgieron todos de golpe.
Los primeros números que surgieron fueron los naturales. Estos son los primeros que se enseñan en la escuela, porque son los básicos para contar unidades enteras. Estos números empiezan con el 1 y llegan hasta el infinito. Son únicamente unidades enteras, aún no se introducen los números con decimales, pues en cuentas básicas estos no tienen sentido (no me gustaría tener 3,5 peces, por ejemplo).
El nombre significa que estos números son los primeros que se le viene a cualquiera a la cabeza al pensar en un número, y son ampliamente usados: fecha y hora, cuentas sencillas, teléfonos...
Es oportuno indicar que todos los "tipos" de números que veremos también se pueden entender como conjuntos de números, aunque estos sean infinitos. Los conjuntos se suelen expresar con letras, y en el caso de los naturales corresponde una "N" como se ve en la siguiente imagen [3.1]:
![Bibliografía [3.1]](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEih2HJTm7pwCVvv6_mWG-YCBQTmhAzUMs7sK2C2Y40Ml0b49olFZROt83ysDaAtGY9KyJZq-HgwCopbzp5ClU31ZlMj5SOpDzacXTEjno-DciMHiIS9xlqd3x7polPwqYIdjK4r_9CxaR777fKk-DT0OM8xc5IVkxQsdwRNFxzqZEVjROJP3ifFYtytyTM2=w320-h55 "Bibliografía [3.1]")
Algunos matemáticos argumentan que el 0 debería ser también un número natural. Si regresamos al uso principal de estos números, es notable que el 0 no se usa hasta que uno no empieza a contar. Antes de contar puedes decir "hay 0 peces", o incluso en algunos casos también vas a contar algo cuya cantidad desconoces y al final resulta que no había nada "hay 0 bricks de horchata".
Es más: un estudio con niños de 4 años de edad [9] reveló que estos tienen problemas para entender lo que es el cero y para determinar si el cero es mayor o menor que otros números naturales.
Como no hay un consenso generalizado respecto a la pertenencia del 0 al conjunto de los naturales, existe una notación específica para aclarar si en tu trabajo vas a considerar el cero como natural o no [4]. Es la siguiente [3.2]:
![Bibliografía [3.2]](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiOwIp1_rSRMVlyFuM4ZoVdyY3A6XMrs4yfDWnVsilwCiw8Hqbnuu5mSnklTpt4Ebp60nFpT-xPu5eVVCu3lRjZky9pHYRTbQaDfrUAwJgWOITZjwRFqChrZ71PGk-AFxYO4CX_8zLOfV6KNqtwQMBxDvwhDHeKiyp5l-P0LNqwWEg9tBN1vx0NZ1cTBATB=w320-h108 "Bibliografía [3.2]")
[3.2]En el caso de N+ también es equivalente N* .
El siguiente conjunto que veremos es el de los números enteros. En corto, podemos decir que es el conjunto formado por los naturales, el cero, y los números negativos. Se simboliza con una "Z" [3.3]:
![Bibliografía [3.3]](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEg6aWoFF2jdvvgFG3VVivit_i-SJuWRoJFqRrwZOP7-vaaYcKm6fhE_0jb_BUvAo4in-c89ctHot6MSWMIh-_jiM6LhF546z5alEG72F-qEbnozQpgGg3Zz3mVxeYuj-CUaVbHpkwQT6VlNAw6KxqfsAAzGEFetRjKkABf0XvjdsiVPnVdzK4JqgXmguFyO=w356-h40 "Bibliografía [3.3]"){kind=small}
[3.3]Formalmente diremos que el conjunto de los números enteros contiene a: N+, los opuestos de N+, y el cero. El número opuesto de un número dado es aquel que, al ser sumado con el número dado, da 0. Más informalmente podemos decir que basta con cambiar el signo. Por ejemplo, el opuesto de 8 es -8 porque:
8 + (-8) = 0.
Como N+ tiene infinitos números, Z también tendrá infinitos números, precisamente el doble que N+ más el 0. N+ crece hacia una dirección, Z hacia dos (informalmente).
Estos números surgen con la necesidad de expresar deudas o pérdidas. Aquí, la definición dada al comienzo de esta entrada "los números son símbolos que expresan cantidades" puede quedar un pelín obsoleta, porque ya no es "tener 0 bricks de horchata", si no que "tener -3 bricks de horchata" no tiene mucho sentido a priori. Los números negativos tardaron mucho en ser aceptados por los matemáticos [10].
Hasta aquí, con los números enteros se pueden realizar las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, y estaremos seguros de que el número resultante seguirá siendo un entero. Pero también necesitamos dividir (o repartir), y en la gran mayoría de divisiones el resultado no es un número entero.
La situación se complica más para la definición dada al principio cuando damos el salto hacia los números racionales. Racional proviene de razón, y resulta que estos números representan una razón o proporción. 2/4 representa una razón, y es el resultado de dividir 2 entre 4.
Los números racionales añaden una propiedad interesante, y es que una misma equivalencia se puede expresar con infinitos números. Veamos un ejemplo:
1/2 = 2/4 = 4/8 = 8/16 = 64/128 ...
Todos estos números comparten la misma proporción. También se puede decir que comparten la misma clase de equivalencia [4.1]. Ahora el mismo número puede ser representado de infinitas formas, cosa que no ocurría con los conjuntos numéricos anteriores.
Este conjunto se representa con la letra "Q", y podemos definirlos de la siguiente manera [3.4]:
![Bibliografía [3.4]](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhuGXXQHQoD5PIejvK_dt0-Ridu55inocz3G5Kee5nNvxqu4ul0gQbkFBge21W70OLfjWT53nhFFnW2XZZ2VAJ1klVDsZljjklAt7xxcEmbx5-xWys4tgbRUzlMAJVLIq5etLaQA4KPCV5BCcSz8QPvLPK0zTHMMOoWxitqZQi4imIrOrfBVm3cynAsakNO=w320-h60 "Bibliografía [3.4]")
[3.4]Observemos esto con mayor detenimiento. Esto significa que un número racional debe estar compuesto por un número "a", al que llamaremos numerador, y un número "b", al que llamaremos numerador, que además debe cumplir un par de cositas más.
El símbolo "∈" significa pertenencia. "a ∈ Z" significa que el numerador debe ser un número entero, y "b ∈ N+ " significa que el denominador debe ser un número natural, excluyendo el 0 (recuerde que no tiene sentido dividir entre 0).
El denominador debe pertenecer a N+ y el numerador a Z porque si no no tendría sentido expresarlo como fracción. 0,5/1,3 se puede escribir, pero tiene más sentido interpretarlo como una división que como una fracción.
Llegados a este punto también deberíamos considerar los números con decimales. ¿Sería 0,5 un número racional? ¡Por supuesto que sí, porque se puede expresar como 1/2! 0,5 pertenece a esa clase de equivalencia [4.1], a la de 1/2. Pero, ¿qué sucede con los decimales periódicos como 0,333...?
Debemos distinguir entre los 3 tipos de números con decimales que son racionales. En primer lugar tememos los decimales exactos, como 0,5. En segundo lugar, tenemos los decimales periódicos puros, como 0,333... o 0,262626... Y por último lugar están los decimales periódicos mixtos, como 0,1666..., en los que la parte periódica no ocupa toda la parte decimal.
En esta interfaz es más complejo simbolizar los periodos correctamente, de modo que dejaré una imagen [3.5] para que usted conozca cómo se escribe correctamente. La rayita está sobre la parte decimal que se repite en cada caso:
![Bibliografía [3.5]](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhJW18oLSAblm61wOraOiG2LYaTjkX1XU_Jef52qjTEZT3_myVwAuYzEc-4ArzJrFYxeXwL3DTgw7H6IZoXTpiCF9rfDSxP1qcdfy745ubkM53JpnpzXzdBmYibD6uDeDYcJyC-ZQWqpN3b4sjtxM-7rlFE46YuJuZ59w6lKenr9QgZrZvSejZeJIeri3z2=w320-h44 "Bibliografía [3.5]"){kind=small}
[3.5]Los primeros dos números de la imagen [3.5] son decimales periódicos puros, y el último se trata de un periódico mixto (la parte periódica comienza en el 6; a la parte no periódica se le puede denominar antiperiodo [7]).
Como decía antes, está claro que los decimales exactos son racionales, pero a simple vista puede parecer que los periódicos puros y mixtos no lo son. Sin embargo, se puede demostrar lo contrario de la siguiente manera:
Método para obtener la fracción generatriz de un decimal periódico:
Empezaremos con un periódico puro. Usaremos 1,333..., "x" es la fracción que estamos buscando, a la que llamaremos fracción generatriz. Entonces:
1,333... = x Porque la fracción tiene que tener el mismo valor que 1,333...
Multiplicaremos por 10 en ambos miembros de la ecuación.
10 * 1,333... = 10x
13,333... = 10x
Restaremos "x" a "10x" para eliminar la parte decimal periódica. Recuerda que, desde el principio, x = 1,333...:
13,333 - x = 10x - x
13,333 - 1,333 = 9x
12 = 9x
De esta manera es mucho más sencillo despejar "x":
12/9 = 9x/9 ; x = 12/9 = 4/3
De esta manera podemos obtener la fracción generatriz de un número decimal periodico puro. Con los decimales periódicos mixtos hay que trabajar un poco más; pero el objetivo es el mismo: hay que eliminar la parte periódica para despejar "x".
Utilizaremos 2,15666... (siendo la parte periódica a partir del 6)
2,15666... = x
100 * 2,15666... = 100 * x
215,666... = 100x
10 * 215,666... = 10 * 100x
2.156,666... = 1.000x
Lo que hemos hecho es algo similar a lo que hicimos con los periódicos puros. El primer paso (que es igual para ambos casos) es multiplicar por 10 cuantas veces sea necesario para conseguir que la parte periódica ocupe toda la parte decimal, es decir, a la derecha de la coma sólo puede estar la parte que se repite.
En los periódicos puros ya tenemos esto hecho, pero sigue siendo necesario multiplicar por 10 en el primer paso para luego hacer la resta y eliminar la parte periódica. Aquí, sin embargo, hemos multiplicado primero por 100 (primer paso) para eliminar la parte periódica, y luego es necesario un segundo paso para poder hacer la resta y eliminar la parte periódica. Esto puede ser algo confuso, pero si aún encuentra dudas o falla al realizar el procedimeinto lo mejor que puede hacer es releer esto varias veces, practicar otros ejemplos o consultar la bibliografía que dejo [8] u otra que encuentre.
Entonces, queda terminar la resta final
2.156,666... - 100x = 1.000x - 100x
2.156,666... - 215,666... = 900x
La parte periódica queda eliminada
1941 = 900x
x = 1941/900 = 647/300
Entonces, queda demostrado que estos tres tipos de números decimales son racionales. No obstante, existe un cuarto tipo que no se puede escribir como fracción, es decir, no es racional. Los racionales pertenecen a otro conjunto numérico aún más grande, así como los naturales pertenecen a los enteros y los enteros a los racionales.
Este conjunto, por su parte, será explicado en este blog en una entrada futura, pues es necesario un tiempo para asimilar estos conceptos, y eso también me incluye a mí como autor...
Autor: Rubén Cardenal Hernández (originalmente publicado como Sr R. C.) Publicado el 31 de agosto de 2024 a las 9:37 PM UTC+2.
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