El pensamiento de René Descartes resumido para selectividad (2025) (artículo Nº 12)

René Descartes fue uno de los más importantes filósofos de toda la historia, como representante de la corriente de pensamiento racionalista, a saber, que basa todo el conocimiento en la razón, y desconfía de los sentidos, de manera similar a Sócrates, Platón, y San Agustín de Hipona.

Contexto histórico e influencias

Descartes nació en la Francia del siglo XVII, una Francia que estaba bastante movida por el pensamiento pirronista. El pirronismo fue una escuela de escepticismo fundada por Pirrón en el S. IV A.C. Sin embargo, generalmente hablando, en Francia se dió este movimiento de una manera exacerbada, de forma que se dudó de todo, y se puso en cuestión todo el conocimiento anterior. Así, surgió una crisis escéptica, debido a que la duda, si no es resuelta, lleva a la inseguridad y a la inacción [1], [2], [3]. También será relevante la tendencia mecanicista que estaba desarrollando la ciencia (el Universo es como una gran máquina).

Descartes estudió Derecho en la Universidad de Poitiers, habiendo estudiado anteriormente en el Colegio de los jesuitas de La Flèche. Sin embargo, se encontraba profundamente decepcionado con la educación que había recibido, pues consideraba que no era conocimiento verdadero (exceptuando la Matemática) [1].

De modo que decidió viajar por la Europa y se alistó también al servicio militar en Holanda. De esta manera, conoce muchas personas distintas y mejorará su habilidad de diálogo, algo parecido a lo que ya proponía Sócrates (el verdadero conocimiento no está escrito en un libro, si no vivo mediante la palabra) [4]. Unos 10 años más tarde, se retirará de estos viajes para trabajar su filosofía. Su tratado más famoso es el "Discurso del Método".

René Descartes [IMG-1]

Metafísica, epistemología y teología

Descartes no se quedó, como otras personas, "atascado" en la duda. Hemos explicado anteriormente que él se vió influenciado por este escepticismo extremo. Sin embargo, el fue capaz de usar la duda como método (duda metódica). Así, el primer paso fue poner en duda todo lo que conocía. Absolutamente todo. Una vez llegado a este punto, hay una única cosa de la cual era imposible dudar. Él no podía negar que estaba dudando. Que él existía. 

Así nacerá el famoso "pienso, luego existo", el cual tiende a ser malinterpretado (pienso, y luego (dentro de un rato) existo), lo cual no tiene ningún sentido. Porque ese "luego" no se refiere al tiempo, si no que es un conector de justificación. Sería equivalente decir "pienso, entonces existo".

Y este sería el primer pilar fundamental, aquello de lo que nunca puede dudar, su propia existencia. Cabe aclarar que esto sucede con independencia del libre albedrío o del determinismo. En cualquier caso existes, y no puedes dudar de ello.

Previamente ha tenido que dudar de todo lo anterior. Ha dudado de los conocimientos que puede obtener de los sentidos, puesto que estos pueden engañarnos. Ha dudado de estar viviendo en un sueño (de manera similar al dilema planteado en The Matrix), puesto que no puede determinar si está despierto o dormido (¿usted nunca se lo ha planteado?). Y, en último lugar, ha llegado a dudar de la razón, con la "hipótesis del genio maligno", que afirma que podría existir un genio maligno que nos haga creer que 2 + 2 = 5 o que dos líneas paralelas pueden cortarse (se plantean asuntos parecidos en 1984 por George Orwell, o incluso se podría llegar a considerar al personaje de Frestón en El Quijote por Miguel de Cervantes Saavedra). De esta manera llega al pienso, luego existo.

Descartes afirma que el yo es una idea clara, evidente (no se puede dudar de ella), y además distinta (no hay nadie igual que usted, por lo que no puede confundir su identidad con la de otra persona).

Entonces, hablaba de varios tipos de ideas. En primer lugar consideraba las ideas innatas, a saber, aquellas que se tienen desde el nacimiento; a continuación se encuentran las ideas facticias, aquellas elaboradas por la mente, y en último lugar, las ideas adventicias serían aquellas que provienen de los sentidos. Un ejemplo de esta última podría ser la idea de maceta: ve una maceta y piensa en la idea (muy importante aquí no confundir el término "idea", en Platón tendrá un significado distnito que en Descartes). Como ejemplo de idea facticia se suele presentar la idea de sirena, pues necesariamente ha debido de combinar la idea de mujer y la idea de pez, y esto se ha hecho en su mente (si usted ha visto una sirena en persona, considere hacer una visita al psicólogo).

Y es aquí cuando llegamos a la segunda verdad indudable para Descartes: la existencia de Dios. Según él, la idea de Dios es una idea innata. Usted puede observar que en prácticamente todas las religiones y culturas ha existido la figura de un Dios, o varios. Argumenta además que, como Dios es perfecto, y nosotros somos imperfectos, debemos tener un ideal perfecto al que poder aspirar o en el que nos basemos (alguien perfecto ha tenido que crearnos).

Aquí, Descartes ha sido criticado por "verse obligado a reconocer la existencia de Dios", pues uno de los motivos por los que lo hizo fue para refutar la hipótesis del genio maligno anteriormente explicada, puesto que si Dios existe, será bueno, y no permitirá que me engañe el genio maligno. De esta manera se garantiza la posibilidad de conocer.

Método cartesiano

Por otro lado, Descartes trató de encontrar un método válido para todas las ciencias, de forma que, siguiendo rigurosamente este método, no pudiera equivocarse. Contemplará entonces dos posibilidades: la intuición (o luz natural), cuyo conocimiento se nos presenta de manera irrefutable, por tratarse de conocimiento simple y claro, y la deducción, un método más complejo basado en la sucesión de ideas simples para llegar a conclusiones verdaderas. 

Descartes divide el método cartesiano en cuatro fases, de manera bastante similar a lo que se hace en un problema de Matemática (no olvidemos que Descartes también fue matemático). El primer paso será la evidencia, que consiste en partir únicamente del conocimiento verdadero, el claro y evidente. A continuación está el análisis, que consiste en la división del problema en fases y comenzar con la resolución. En tercer lugar, está la síntesis: una vez terminado el análisis, se volverán a recomponer los resultados de este para llegar a una conclusión. Finalmente se hará un repaso o enumeración, en la cual se han de revisar todos los pasos. Si se superan con éxito estas cuatro frases, se habrá resuelto la cuestión.

Esto es lo que usted hace al resolver un problema de Matemática. Partirá de unos datos concretos junto con unos axiomas (principios de la Matemática), y realizará el problema por fases, hasta llegar a la conclusión final. Finalmente, repasará los cálculos y las fórmulas por si se ha confundido en algo.

Las tres sustancias

Este filósofo consideraba tres tipos de sustancias, metafísicamente hablando. Consideraba que algo era una sustancia si existe por sí mismo. Entonces, ya hemos hablado de una primera sustancia que sería propiamente la sustancia de Dios, la res infinita. Es imprescindible que Dios sea su propia sustancia, porque nosotros, los seres humanos, no podemos estar compuestos por lo mismo que él. Así, también hablará de la res extensa (lo material, y para los humanos el cuerpo), y la res cogitans (el pensamiento). Entonces, estas tres sustancias pueden existir por sí mismas, de las cuales los seres humanos estaremos formados por dos de ellas (res extensa y cogitans).

Antropología y moral

Como bien acabamos de ver en el epígrafe anterior, el ser humano está compuesto por res extensa (el cuerpo) y res cogitans (la mente y el alma).

Descartes argumentaba además que la glándula pineal servía como puente entre la res cogitans y la res extensa, puesto que de algún modo tenían que estar conectadas.

Además, afirmaba que nuestro cuerpo, y todo lo situado en la res extensa, estaba sujeto a las leyes de la Física, con una percepción completamente determinista. Entendió así el cuerpo humano como una gran máquina en la que todo está determinado.

Sin embargo, él sostenía que el alma (y la mente), por su parte, era libre e independiente del cuerpo. De forma que no era completamente determinista, en vista de que no negó la libertad de pensamiento. No obstante, Descartes no filosofó demasiado con respecto al destino del alma tras la muerte corporal.

Descartes advirtió que ha de ser el alma, la res cogitans, la que gobierne sobre el cuerpo, la res extensa. Aquí podemos observar una similitud con el Mito del carro alado, siendo la sabiduría la virtud predominante (alma racional de Platón). Así, la moral de René Descartes basaría el alcanzamiento de la felicidad mediante el gobierno del alma (res cogitans) en el cuerpo, de forma que el sujeto no estaría condicionado por las pasiones corpóreas, alcanzando así la libertad.

A pesar de esto, Descartes no avanzó demasiado en su filosofía con respecto a la moral. Pero teniendo en cuenta que su proyecto filosófico se basa en la duda, se vió obligado a establecer una moral provisional. Esto lo hace para evitar verse afectado por la inacción. Al principio de este artículo vimos que había una fuerte tendencia al escepticismo extremo, la cual acababa derivando en inacción por culpa de la duda. E incluso hoy en día, muchas personas pierden oportunidades a causa de la duda (yo mismo he pecado con el ejemplo).

De esta manera, con el establecimiento de una moral provisional, Descartes se aseguró el poder continuar con su vida, porque tardó muchos años en establecer formalmente su filosofía. Este es un claro ejemplo de que la Filosofía no ha de ser "sólo teórica", puesto que está relacionada con la misma realidad. Los filósofos no son personas que únicamente viven pensando, en contraposición al fuerte estigma asociado a la Filosofía.

Algunas fuentes [5], [6], resumen esta moral provisional en las siguientes máximas:

I. Obrar de acuerdo a las normas y costumbres del país en el que se resida. Algunas fuentes añaden el obrar de acuerdo a las costumbres de la religión en la que uno se haya educado [5]. Descartes también habla de el punto medio aristotélico, para evitar problemas.

II. Obrar de manera firme y resuelta. Evitar dudar una vez se ha decidido (si está equivocado se dará cuenta, pero cada cosa a su tiempo).

III. Autodominio: amoldar nuestros deseos a la realidad, puesto que no podemos cambiar el orden del mundo. No puede desear algo imposible.

IV. Elegir la mejor forma de vida y una profesión a la cual se quiera dedicar. De esta manera, podrá desarrollar el conocimiento científico y filosófico [5].

Sin embargo, y como comentábamos anteriormente, Descartes no profundizó demasiado en su proyecto moral.

Conclusión

En este artículo ha sido tratada la filosofía de René Descartes, de manera breve y orientada principalmente al examen de selectividad de Madrid de 2025. Si tiene más interés en el pensamiento de este autor, podría leer el Discurso del método, u otras obras de su autoría. Es interesante añadir que estas obras son gratuitas, puesto que pertenecen al dominio público por su antigüedad [7].

Sin duda, este autor es un punto clave para comprender la filisofía racionalista, y el determinismo que tanto auge estaba teniendo en la Francia del siglo XVII. Demostró que la duda puede ser una gran camino si es bien comprendida y se va más allá. No obstante, David Hume tratará de rebatir los argumentos filosóficos de Descartes bajo la corriente empirista.

Publicado por: Rubén Cardenal Hernández (originalmente publicado como Rubén C.) el 21 de diciembre de 2024 a las 10:55 P.M.

Bibliografía:

[1]: Web Dianoia - Descartes: https://www.webdianoia.com/moderna/descartes/desc_bio.htm

[2]: Wikipedia - Descartes: https://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

[3]: Wikipedia - Pirronismo: https://es.wikipedia.org/wiki/Pirronismo

[4]: https://cemees.org/2021/05/18/escritura-y-pensamiento-la-advertencia-de-socrates/

[5]: https://arjephilo.com/2017/02/05/moral-provisional-descartes/

[6]: Clases de 2º de Bachillerato de Historia de la Filosofía en mi instituto (España).

[7]: Obras de Descartes: https://archive.org/details/descartes-rene-obras_202108

Otras fuentes:

[O-1]: Apuntes de La Lechuza de Minerva: https://lalechuzademinerva.es/historia-de-la-filosofia/

Imágenes:

[IMG-1]: Dominio Público: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg

Los números y su clasificación (1ºPARTE) (#8)

Usamos a diario los números para muchos fines. Desde pequeños nos han enseñado los 10 símbolos básicos que utilizamos para contar. Empezamos con el 0 en las unidades, y una vez llegamos al 9, volvemos a empezar con el 0 escribiendo un 1 en las decenas. Cuando las unidades se vuelven a llenar, las decenas pasan al símbolo siguiente, y vuelta a empezar. Cuando las decenas llegan a 9 y las unidades también (99), estrenamos las centenas y escribiremos un 1 (100). Y vuelta a empezar. A esta manera de contar la llamamos base 10.

Básicamente, en el sistema de base 10 el valor de la izquierda vale 10 veces más que el que tiene a la derecha. Así, las decenas valen 10 veces más que las unidades, por ejemplo. Para comprender este concepto puede practicar ejercicios de descomposición. Por ejemplo, 6.174 es igual a:

6 * 1.000 (valor unidades de millar) + 1 * 100 (valor de las centenas) + 7 * 10 (valor de las decenas) + 4 * 1 (valor de las unidades). (* expresa una multiplicación).

Sin embargo, ¿alguna vez se ha parado a pensar qué es exactamente un número? ¿Por qué se inventaron los números? ¿Qué maneras de contar ha habido a lo largo de la historia?

A mí me gusta decir que los números son símbolos que se ordenan para expresar cantidades. La RAE [1] ofrece una definición similar, indicando además la importancia de las unidades. Muchos profesores, especialmente los de Física y Química, hacen mucho incapié en dejar clara la unidad en los resultados de los problemas. Esto puede parecer una tontería, pero es de vital importancia:

Para empezar, porque no todos los seres humanos utilizamos las mismas unidades. En buena parte del globo se ha establecido el SI (Sistema Internacional), que define 7 unidades principales para cuantificar masa (kilogramo), tiempo (segundo), longitud (metro), corriente eléctrica (amperio), temperatura (kelvin), cantidad de sustancia (mol) e intensidad luminosa (candela). Además, estas unidades pueden tener múltiplos y submúltiplos, como por ejemplo el metro (kilómetro, milímetro...). Y también hay otras muchas unidades secundarias en el SI. El SI, para optimizar la comunicación entre científicos, ha establecido unas abreviaturas para estas unidades [2].

No obstante, hay otras muchas unidades y sistemas de unidades diferentes que son utilizados en otros países como en Estados Unidos.

En el marco práctico, es vital entender que los números expresan cantidades, pero no de cualquier cosa si no en una unidad concreta. Un científico, tras concluir su investigación no dice: "mi resultado es 32". No. Aunque esté investigando una cosa muy concreta y la unidad sea bastante obvia, pueden seguir habiendo confusiones y es muy importante dejarlo claro. "Mi resultado es 32 segundos, 32 segundos tarda en suceder x".

El tema de las unidades es bastante extenso; lo suficiento como para que exista una ciencia que las estudia: la metrología (no sea confundida con meteorología), y es un tema que será desarrollado en futuras entradas.

Volvamos a los números. Para ver la historia de estos es muy relevante dar la clasificación de ellos al mismo tiempo, pues no surgieron todos de golpe.

Los primeros números que surgieron fueron los naturales. Estos son los primeros que se enseñan en la escuela, porque son los básicos para contar unidades enteras. Estos números empiezan con el 1 y llegan hasta el infinito. Son únicamente unidades enteras, aún no se introducen los números con decimales, pues en cuentas básicas estos no tienen sentido (no me gustaría tener 3,5 peces, por ejemplo).

El nombre significa que estos números son los primeros que se le viene a cualquiera a la cabeza al pensar en un número, y son ampliamente usados: fecha y hora, cuentas sencillas, teléfonos...

Es oportuno indicar que todos los "tipos" de números que veremos también se pueden entender como conjuntos de números, aunque estos sean infinitos. Los conjuntos se suelen expresar con letras, y en el caso de los naturales corresponde una "N" como se ve en la siguiente imagen [3.1]:

[3.1]

Algunos matemáticos argumentan que el 0 debería ser también un número natural. Si regresamos al uso principal de estos números, es notable que el 0 no se usa hasta que uno no empieza a contar. Antes de contar puedes decir "hay 0 peces", o incluso en algunos casos también vas a contar algo cuya cantidad desconoces y al final resulta que no había nada "hay 0 bricks de horchata".

Es más: un estudio con niños de 4 años de edad [9] reveló que estos tienen problemas para entender lo que es el cero y para determinar si el cero es mayor o menor que otros números naturales.

Como no hay un consenso generalizado respecto a la pertenencia del 0 al conjunto de los naturales, existe una notación específica para aclarar si en tu trabajo vas a considerar el cero como natural o no [4]. Es la siguiente [3.2]:

[3.2]

En el caso de N+ también es equivalente N* .

El siguiente conjunto que veremos es el de los números enteros. En corto, podemos decir que es el conjunto formado por los naturales, el cero, y los números negativos. Se simboliza con una "Z" [3.3]:

[3.3]

Formalmente diremos que el conjunto de los números enteros contiene a: N+, los opuestos de N+, y el cero. El número opuesto de un número dado es aquel que, al ser sumado con el número dado, da 0. Más informalmente podemos decir que basta con cambiar el signo. Por ejemplo, el opuesto de 8 es -8 porque: 

8 + (-8) = 0.

Como N+ tiene infinitos números, Z también tendrá infinitos números, precisamente el doble que N+ más el 0. N+ crece hacia una dirección, Z hacia dos (informalmente).

Estos números surgen con la necesidad de expresar deudas o pérdidas. Aquí, la definición dada al comienzo de esta entrada "los números son símbolos que expresan cantidades" puede quedar un pelín obsoleta, porque ya no es "tener 0 bricks de horchata", si no que "tener -3 bricks de horchata" no tiene mucho sentido a priori. Los números negativos tardaron mucho en ser aceptados por los matemáticos [10].

Hasta aquí, con los números enteros se pueden realizar las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, y estaremos seguros de que el número resultante seguirá siendo un entero. Pero también necesitamos dividir (o repartir), y en la gran mayoría de divisiones el resultado no es un número entero.

La situación se complica más para la definición dada al principio cuando damos el salto hacia los números racionales. Racional proviene de razón, y resulta que estos números representan una razón o proporción. 2/4 representa una razón, y es el resultado de dividir 2 entre 4.

Los números racionales añaden una propiedad interesante, y es que una misma equivalencia se puede expresar con infinitos números. Veamos un ejemplo:

1/2 = 2/4 = 4/8 = 8/16 = 64/128 ...

Todos estos números comparten la misma proporción. También se puede decir que comparten la misma clase de equivalencia [4.1]. Ahora el mismo número puede ser representado de infinitas formas, cosa que no ocurría con los conjuntos numéricos anteriores.

Este conjunto se representa con la letra "Q", y podemos definirlos de la siguiente manera [3.4]:

[3.4]

Observemos esto con mayor detenimiento. Esto significa que un número racional debe estar compuesto por un número "a", al que llamaremos numerador, y un número "b", al que llamaremos numerador, que además debe cumplir un par de cositas más.

El símbolo "∈" significa pertenencia. "a ∈ Z" significa que el numerador debe ser un número entero, y "b ∈ N+ " significa que el denominador debe ser un número natural, excluyendo el 0 (recuerde que no tiene sentido dividir entre 0).

El denominador debe pertenecer a N+ y el numerador a Z porque si no no tendría sentido expresarlo como fracción. 0,5/1,3 se puede escribir, pero tiene más sentido interpretarlo como una división que como una fracción. 

Llegados a este punto también deberíamos considerar los números con decimales. ¿Sería 0,5 un número racional? ¡Por supuesto que sí, porque se puede expresar como 1/2! 0,5 pertenece a esa clase de equivalencia [4.1], a la de 1/2. Pero, ¿qué sucede con los decimales periódicos como 0,333...?

Debemos distinguir entre los 3 tipos de números con decimales que son racionales. En primer lugar tememos los decimales exactos, como 0,5. En segundo lugar, tenemos los decimales periódicos puros, como 0,333... o 0,262626... Y por último lugar están los decimales periódicos mixtos, como 0,1666..., en los que la parte periódica no ocupa toda la parte decimal.

En esta interfaz es más complejo simbolizar los periodos correctamente, de modo que dejaré una imagen [3.5] para que usted conozca cómo se escribe correctamente. La rayita está sobre la parte decimal que se repite en cada caso:

[3.5]

Los primeros dos números de la imagen [3.5] son decimales periódicos puros, y el último se trata de un periódico mixto (la parte periódica comienza en el 6; a la parte no periódica se le puede denominar antiperiodo [7]).

Como decía antes, está claro que los decimales exactos son racionales, pero a simple vista puede parecer que los periódicos puros y mixtos no lo son. Sin embargo, se puede demostrar lo contrario de la siguiente manera:

Método para obtener la fracción generatriz de un decimal periódico:

Empezaremos con un periódico puro. Usaremos 1,333..., "x" es la fracción que estamos buscando, a la que llamaremos fracción generatriz. Entonces:

1,333... = x     Porque la fracción tiene que tener el mismo valor que 1,333...

Multiplicaremos por 10 en ambos miembros de la ecuación.

10 * 1,333... = 10x

13,333... = 10x

Restaremos "x" a "10x" para eliminar la parte decimal periódica. Recuerda que, desde el principio, x = 1,333...:

13,333 - x = 10x - x

13,333 - 1,333 = 9x

12 = 9x

De esta manera es mucho más sencillo despejar "x":

12/9 = 9x/9 ; x = 12/9 = 4/3

De esta manera podemos obtener la fracción generatriz de un número decimal periodico puro. Con los decimales periódicos mixtos hay que trabajar un poco más; pero el objetivo es el mismo: hay que eliminar la parte periódica para despejar "x".

Utilizaremos 2,15666... (siendo la parte periódica a partir del 6)

2,15666... = x

100 * 2,15666... = 100 * x

215,666... = 100x

10 * 215,666... = 10 * 100x

2.156,666... = 1.000x

Lo que hemos hecho es algo similar a lo que hicimos con los periódicos puros. El primer paso (que es igual para ambos casos) es multiplicar por 10 cuantas veces sea necesario para conseguir que la parte periódica ocupe toda la parte decimal, es decir, a la derecha de la coma sólo puede estar la parte que se repite.

En los periódicos puros ya tenemos esto hecho, pero sigue siendo necesario multiplicar por 10 en el primer paso para luego hacer la resta y eliminar la parte periódica. Aquí, sin embargo, hemos multiplicado primero por 100 (primer paso) para eliminar la parte periódica, y luego es necesario un segundo paso para poder hacer la resta y eliminar la parte periódica. Esto puede ser algo confuso, pero si aún encuentra dudas o falla al realizar el procedimeinto lo mejor que puede hacer es releer esto varias veces, practicar otros ejemplos o consultar la bibliografía que dejo [8] u otra que encuentre.

Entonces, queda terminar la resta final

2.156,666... - 100x = 1.000x - 100x

2.156,666... - 215,666... = 900x

La parte periódica queda eliminada

1941 = 900x

x = 1941/900 = 647/300

Entonces, queda demostrado que estos tres tipos de números decimales son racionales. No obstante, existe un cuarto tipo que no se puede escribir como fracción, es decir, no es racional. Los racionales pertenecen a otro conjunto numérico aún más grande, así como los naturales pertenecen a los enteros y los enteros a los racionales.

Este conjunto, por su parte, será explicado en este blog en una entrada futura, pues es necesario un tiempo para asimilar estos conceptos, y eso también me incluye a mí como autor...

Autor: Rubén Cardenal Hernández (originalmente publicado como Sr R. C.) Publicado el 31 de agosto de 2024 a las 9:37 PM UTC+2.

Bibliografía:

[1]: DRAE: https://dle.rae.es/n%C3%BAmero

[2]: Wikipedia. Sistema Internacional de Unidades: https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades

[3.1], [3.2], [3.3], [3.4], [3.5]: Imágenes de mi autoría hechas con LibreOffice Math.

[4]: Derivando: ¿Es el 0 un número natural? https://www.youtube.com/watch?v=Q2zan_9zzg8

[4.1]: Minuto 3:27. https://youtu.be/H9pMUV4leQg?t=207

[5]: Derivando: ¿Qué es un número? https://www.youtube.com/watch?v=H9pMUV4leQg

[6]: Derivando: Números Reales: https://www.youtube.com/watch?v=xOjQ3u7jSLQ

[7]: Wikipedia: Número decimal: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal#Decimal_peri%C3%B3dico_mixto

[8]: Procedimiento para calcular la fracción generatriz - SkateMates: https://www.youtube.com/watch?v=tESyPnE0ABc

[9]: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3582820/

[10]: https://matematicasiesoja.wordpress.com/wp-content/uploads/2024/02/el-naciemitno-y-la-aceptacion-de-los-numeros-negativos-.pdf

Propiedad de la igualdad: ¿por qué no se enseña? (#7)

Esta es una propiedad que cumplen todas las ecuaciones matemáticas, pero me parece muy extraño que esto no se enseñe en las escuelas de habla hispana, al menos en mi experiencia y en mis referencias. 

Yo no he aprendido esta propiedad dentro del sistema educativo, sino gracias a mi curiosidad individual y al Internet. Y esta es una de esas propiedades matemáticas que puede hacernos pensar de un modo más correctamente matemático.

Para entender esta propiedad primero tiene que entender qué es una ecuación. Esto se ve en 1º de ESO, pero por si no lo conociese daré una breve explicación.

Una ecuación tiene el siguiente formato:

miembro 1 = miembro 2

Tanto en el miembro 1 como en el 2 tendremos expresiones matemáticas que son equivalentes. Además, debe haber por lo menos una incógnita en total. Visto así:

4 + 4 = 8    no sería una ecuación

x - 3 = 4    si sería una ecuación

Las incógnitas no dejan de ser números, aunque aún no conocemos su valor. Entonces se simbolizan con letras del alfabeto latino. Casi siempre se suele utilizar la letra "x".

Ahora, si le preguntara a un estudiante de 1º de ESO cómo resolvería " x - 3 = 4 ", estoy bastante seguro de que en el 99% de los casos me diría "el -3 pasa sumando al otro lado, entonces x vale 7". Y eso es correcto, pero no está del todo justificado. ¿Qué es eso de que el -3 "pasa" sumando al otro lado? Formalmente lo que ese estudiante ha querido decir es que si cambia el -3 de lado cambia su signo, pero ¿por qué cambia su signo?

Aquí es donde entra en acción la propiedad de la igualdad, que nace de la propia definición de ecuación que hemos dado. Anteriormente dije "tendremos expresiones matemáticas que son equivalentes". En otras palabras, tienen el mismo valor. El "=" no está ahí por capricho, si no que está indicando que el miembro 1 tiene el mismo valor que el miembro 2.

Entonces, si estos miembros valen lo mismo, y hace la misma operación en ambos miembros, se seguirá cumpliendo que el miembro 1 vale lo mismo que el miembro 2.

Pondré un ejemplo sencillo para comenzar. Antes hemos dicho que "4 + 4 = 8" no es una ecuación porque no tiene incóginta. Permítame hacer un ejemplo sin incógnita. A "5 = 5" vamos a restarle 3 en ambos miembros.

5 = 5

5 - 3 = 5 - 3

2 = 2

Y eso es lo que este estudiante de 1º ha hecho sin saberlo. Veamos ahora lo que hay que hacer para resolver correctamente "x - 3 = 4":

Nuestro objetivo es despejar la "x" para averiguar su valor. Para despejar hay que dejar la incógnita en un miembro, y todos los datos conocidos en el otro miembro. De esta manera obtenemos su valor, gracias a la propiedad de la igualdad.

En el ejemplo hay que conseguir que la x "se quede sola" en un miembro. Entonces hay que "deshacerse" del -3 que está en el miembro 1.

x - 3 = 4

x - 3 + 3 = 4 + 3

x = 7

Como hemos sumado 3 a -3, esto queda igual a 0 y la "x" queda despejada. Es cierto que es más rápido pensar de la otra manera ("el -3 pasa sumando al otro lado"), pero no debemos olvidarnos de esta propiedad, porque cuando las ecuaciones se vuelvan más y más difíciles y haya más y más incógnitas y operaciones por medio, la mejor manera de resolverlo será mediante el verdadero pensamiento matemático.

Con las multipliaciones y divisiones ocurre lo mismo:

[1]

El 3 no "ha pasado dividiendo al miembro 2". Los números no suelen ir volando a los sitios. Lo que se ha hecho ha sido dividir entre 3 ambos miembros, de forma que en el primero queda "x" despejado y en el segundo su valor total "3".

En la ESO puede parecer inofensivo el aprenderse un par de reglas del estilo "el -3 pasa volando para sumar al otro lado" o "el 3 que multiplica a la x pasa dividiendo"; pero a largo plazo es más interesante aprender a pensar de una manera matemática, porque las ecuaciones se complicarán más y más, y resolver estos problemas con un método matemático formal incrementará su inteligencia matemática y su facilidad para resolver problemas.

Autor: Rubén Cardenal Hernández (originalmente publicado como Sr R. C.) Publicado el 29 de agosto de 2024 a las 6:49 PM UTC+2.

Bibliografía:

[1]: Imagen de mi autoría hecha con LibreOffice Math. Programa interesante para ilustrar fórmulas matemáticas.

[2]: Matemáticas con Juan. Propiedad de la igualdad. Muy recomendable. https://www.youtube.com/watch?v=K6jao-rVepo